CRITERI DI DIVISIBILITA'

Per dimostrare i criteri di divisibilità si unano le congruenze mod n .

DIVISIBILITA' PER 3
la somma delle cifre è 0 oppure è multiplo di 3
Infatti:
10=1 mod 3
100=10x10=1x1=1 mod3
1000= 1 mod 3 per lo stesso motivo
:

[10]n=[1] mod 3  per ogni n

un numero ABC = 100A+10B+C=A+B+C mod 3

Esempio : 1455=1000+4x100+5x10+5= 1+4+5+5=15 ok è multiplo di 3


DIVISIBILITA' PER 4

un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle sue due ultime cifre
ad esempio 5734 è div per 4 se lo è 34 Allora non è div.

consideriamo le potenze di 10 mod 2
10=2

[100]=[1]

[10]=[2]

[10²]=[0]

[10³]=[8]=[0] e poi è sempre 0   

Quindi 1234 : 4 ha resto 2 ossia [1234]=[34]=[2] mod 4

DIVISIBILITA' PER 7

Un intero n è divisibile per 7, cioè n mod 7 = 0, se e solo se lo è il numero ottenuto

dall’intero iniziale senza la cifra delle unità sottraendo due volte la cifra delle unità.

Per esempio, 3367882 mod 7 = 0 in

quanto 336788 − 2 · 2 = 336784, e ripetendo

33678−2 · 4 = 33670, 3367−2 · 0 = 3367, 336−2 · 7 = 322, 32−2 · 2 = 28; ma dato che l’ultimo è divisibile per 7, lo sono anche tutti gli altri e in particolare il numero di partenza

DIVISIBILITA' PER 8 e in generale per 2^n POTENZE DI 2

un numero è divisibile per 8=2^3 se lo è il numero formato dalle sue ultime TRE cifre
un numero è divisibile per 8=2^n se lo è il numero formato dalle sue ultime n cifre 

Esempio:

[123156]=[156]  mod 8= mod 2³

[123 564]=[64] mod 4

[123 675]=[3675] mod 16

DIVISIBILITA' PER 9

un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle cifre è divisibile per 9

Infatti:

[10]n=[1] mod 9  per ogni n

1234 è divisibile per 9?

solo se lo è LA SOMMA DELLE SUE CIFRE 1+2+3+4 perché:

[1234]=[1x10³+2x10²+3x10+4]=

=[1][10]³+[2][10]²+[3][10]+[4]=[1+2+3+4]=[1]

Quindi in particolare 1234:9 ha resto 1
DIVISIBILITA' PER 11

un numero è divisibile per 11 se e solamente se la somma delle sue cifre a segni alterni è divisibile per 11. 

Infatti:

100 = 1 è congruo a 1 modulo 11. La potenza

101 = 10 è invece congrua a −1 modulo 11. Ne segue che

102 = 10 · 10  (−1) · (−1) = 1 (mod 11),

e quindi

103 = 10 · 102  (−1) · 1 = −1 (mod 11).

Allora :

ESEMPIO

6131829 = 9·100+2·101+8·102+1·103+3·104+1·105+6·106  =9−2+8−1+3−1+6 = 22  = 0 (mod 11).