Lezione di geometria: basi per le gare
Sabato 13 gennaio 2024
1. Criteri di congruenza dei triangoli
- Lato–Angolo–Lato (LAL): due lati congruenti e l’angolo compreso congruente.
- Lato–Angolo–Angolo (LAA): un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti.
- Tre lati (LLL): i tre lati congruenti.
2. Criteri di similitudine dei triangoli
- AAA: tre angoli congruenti (in realtà ne bastano due).
- Lati in proporzione e angolo compreso: due lati in proporzione e l’angolo compreso congruente.
- Tre lati in proporzione: i tre lati in proporzione.
3. Triangolo rettangolo – Teoremi di Euclide
Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con altezza CH sull’ipotenusa AB.
- Altezza relativa all’ipotenusa: CH² = AH · HB
- Primo teorema di Euclide: AC² = AH · AB
- Secondo teorema di Euclide: BC² = BH · AB
4. Parallele e trasversali
Condizione di parallelismo tra due rette tagliate da una trasversale:
- Angoli corrispondenti congruenti ⇒ le rette sono parallele.
- Angoli alterni interni congruenti ⇒ le rette sono parallele.
- Viceversa: se si forma almeno una coppia di angoli alterni interni congruenti, le rette sono parallele.
5. Teorema della bisettrice interna
In un triangolo ABC, la bisettrice dell’angolo in A incontra il lato opposto in D.
Tesi: AD / DB = AC / CB
6. Angolo al centro e angolo alla circonferenza
- Definizione:
– Angolo al centro: vertice nel centro della circonferenza, insiste su un arco.
– Angolo alla circonferenza: vertice sulla circonferenza, insiste sulla stessa corda/arco. - Proprietà 1: l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
- Proprietà 2: gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti.
- Proprietà 3: gli angoli alla circonferenza che insistono su archi opposti sono supplementari.
- Triangolo in semicirconferenza: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.
7. Teorema di Talete
Se due rette parallele sono tagliate da due trasversali, i segmenti corrispondenti sono proporzionali.
Esempio: se AV e BV sono segmenti su una trasversale e A'V, B'V su un’altra, con le rette parallele:
AV / BV = A'V / B'V
8. Quadrilateri ciclici
Un quadrilatero è ciclico se i suoi vertici giacciono su una stessa circonferenza.
- Primo criterio: una coppia di angoli opposti è supplementare ⇒ il quadrilatero è ciclico.
- Caso particolare: se gli angoli opposti sono entrambi di 90°, il quadrilatero è ciclico.
- Secondo criterio: un lato è “visto” da due angoli congruenti (alla circonferenza) ⇒ il quadrilatero è ciclico.
9. Teorema di Tolomeo
Per un quadrilatero ciclico ABCD vale:
Teorema: AB · CD + AD · BC = AC · BD
Corollario (triangolo equilatero ABC con punto P sulla circonferenza circoscritta):
AP + PB = PC
10. Punti notevoli di un triangolo
Baricentro
- È il punto di incontro delle mediane.
- Divide ogni mediana in due parti, di cui una è il doppio dell’altra:
se G è il baricentro sulla mediana da C, allora CG = 2 · GM.
Ortòcentro
- È il punto di incontro delle altezze.
- In un triangolo ottusangolo l’ortòcentro cade fuori dal triangolo.
Incentro
- È il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni.
- È equidistante dai lati del triangolo (centro della circonferenza inscritta).
11. Disuguaglianze triangolari
- La somma di due lati è sempre maggiore del terzo:
AC + BC > AB
AC + AB > BC
AB + BC > AC - Ogni lato è maggiore della differenza degli altri due:
AB > |AC − BC|
BC > |AC − AB|
AC > |AB − BC|
12. Teorema delle secanti
Sia P un punto esterno a una circonferenza, e siano PA e PB, PC e PD due secanti che intersecano la circonferenza.
Teorema: PA · PB = PC · PD
13. Teorema delle corde
In un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di centro O:
AO · OC = DO · OB
Se vale questa relazione, il quadrilatero ABCD è ciclico (vale anche il viceversa).
14. Teorema delle tangenti
Sia P un punto esterno a una circonferenza, e siano PA e PB due tangenti alla circonferenza nei punti A e B.
- Le tangenti da uno stesso punto hanno uguale lunghezza:
PA = PB - In molti problemi si usa anche la relazione con secanti:
PT² = PA · PB (quando T è punto di tangenza e PA, PB sono secanti/tangenti opportunamente definite).
15. Osservazioni ed esercizi tipici
- Triangolo inscritto in semicirconferenza: se AB è diametro, ogni triangolo con vertice C sulla semicirconferenza ha angolo in C retto.
- Mediana in triangolo rettangolo: la mediana condotta dal vertice dell’angolo retto all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa.
- Punto medio dell’ipotenusa: in un triangolo rettangolo, il punto medio dell’ipotenusa è il centro della circonferenza circoscritta.
