GEOMETRIA PER LE GARE

Lezione di geometria: basi per le gare

Sabato 13 gennaio 2024

1. Criteri di congruenza dei triangoli

• Lato–Angolo–Lato (LAL): due lati congruenti e l’angolo compreso congruente.
• Lato–Angolo–Angolo (LAA): un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti.
• Tre lati (LLL): i tre lati congruenti.

2. Criteri di similitudine dei triangoli

• AAA: tre angoli congruenti (in realtà ne bastano due).
• Lati in proporzione e angolo compreso: due lati in proporzione e l’angolo compreso congruente.
• Tre lati in proporzione: i tre lati in proporzione.

3. Triangolo rettangolo – Teoremi di Euclide

Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con altezza CH sull’ipotenusa AB.

• Altezza relativa all’ipotenusa: CH² = AH · HB
• Primo teorema di Euclide: AC² = AH · AB
• Secondo teorema di Euclide: BC² = BH · AB

4. Parallele e trasversali

Condizione di parallelismo tra due rette tagliate da una trasversale:

• Angoli corrispondenti congruenti ⇒ le rette sono parallele.
• Angoli alterni interni congruenti ⇒ le rette sono parallele.
• Viceversa: se si forma almeno una coppia di angoli alterni interni congruenti, le rette sono parallele.

5. Teorema della bisettrice interna

In un triangolo ABC, la bisettrice dell’angolo in A incontra il lato opposto in D.

Tesi: AD / DB = AC / CB

6. Angolo al centro e angolo alla circonferenza

• Definizione:
  – Angolo al centro: vertice nel centro della circonferenza, insiste su un arco.
  – Angolo alla circonferenza: vertice sulla circonferenza, insiste sulla stessa corda/arco.
• Proprietà 1: l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
• Proprietà 2: gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti.
• Proprietà 3: gli angoli alla circonferenza che insistono su archi opposti sono supplementari.
• Triangolo in semicirconferenza: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

7. Teorema di Talete

Se due rette parallele sono tagliate da due trasversali, i segmenti corrispondenti sono proporzionali.

Esempio: se AV e BV sono segmenti su una trasversale e A'V, B'V su un’altra, con le rette parallele:

AV / BV = A'V / B'V

8. Quadrilateri ciclici

Un quadrilatero è ciclico se i suoi vertici giacciono su una stessa circonferenza.

• Primo criterio: una coppia di angoli opposti è supplementare ⇒ il quadrilatero è ciclico.
• Caso particolare: se gli angoli opposti sono entrambi di 90°, il quadrilatero è ciclico.
• Secondo criterio: un lato è “visto” da due angoli congruenti (alla circonferenza) ⇒ il quadrilatero è ciclico.

9. Teorema di Tolomeo

Per un quadrilatero ciclico ABCD vale:

Teorema: AB · CD + AD · BC = AC · BD

Corollario (triangolo equilatero ABC con punto P sulla circonferenza circoscritta):

AP + PB = PC

10. Punti notevoli di un triangolo

Baricentro

• È il punto di incontro delle mediane.
• Divide ogni mediana in due parti, di cui una è il doppio dell’altra:
  se G è il baricentro sulla mediana da C, allora CG = 2 · GM.

Ortòcentro

• È il punto di incontro delle altezze.
• In un triangolo ottusangolo l’ortòcentro cade fuori dal triangolo.

Incentro

• È il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni.
• È equidistante dai lati del triangolo (centro della circonferenza inscritta).

11. Disuguaglianze triangolari

• La somma di due lati è sempre maggiore del terzo:
  AC + BC > AB
  AC + AB > BC
  AB + BC > AC
• Ogni lato è maggiore della differenza degli altri due:
  AB > |AC − BC|
  BC > |AC − AB|
  AC > |AB − BC|

12. Teorema delle secanti

Sia P un punto esterno a una circonferenza, e siano PA e PB, PC e PD due secanti che intersecano la circonferenza.

Teorema: PA · PB = PC · PD

13. Teorema delle corde

In un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di centro O:

AO · OC = DO · OB

Se vale questa relazione, il quadrilatero ABCD è ciclico (vale anche il viceversa).

14. Teorema delle tangenti

Sia P un punto esterno a una circonferenza, e siano PA e PB due tangenti alla circonferenza nei punti A e B.

• Le tangenti da uno stesso punto hanno uguale lunghezza:
  PA = PB
• In molti problemi si usa anche la relazione con secanti:
  PT² = PA · PB (quando T è punto di tangenza e PA, PB sono secanti/tangenti opportunamente definite).

15. Osservazioni ed esercizi tipici

• Triangolo inscritto in semicirconferenza: se AB è diametro, ogni triangolo con vertice C sulla semicirconferenza ha angolo in C retto.
• Mediana in triangolo rettangolo: la mediana condotta dal vertice dell’angolo retto all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa.
• Punto medio dell’ipotenusa: in un triangolo rettangolo, il punto medio dell’ipotenusa è il centro della circonferenza circoscritta.