RETTA DI EULERO

TEOREMA:L’ortocentro (H), il baricentro (G) e il circocentro (O) di un triangolo qualsiasi sono sempre allineati.
 
Si dice retta di Eulero di un triangolo la retta che unisce il circocentro O, il baricentro G e l’ortocentro H del triangolo 

PROPRIETA': Il baricentro G divide il segmento OH in due parti una doppia dell'altra:  HG=2OG 

TEOREMA DI CEVA

SPIEGAZIONE: Quindi la dimostrazione si basa sul fatto che due triangoli che hanno la stessa altezza hanno le aree proporzionali alle basi. Quindi le lunghezze presenti nei rapporti sono le basi di triangoli con la stessa altezza e queste aree si semplificano in croce.

TEOREMA DI TOLOMEO

TUTTO SULLE MEDIANE e BARICENTRO

 

Da questa si possono ricavare le lunghezze delle mediane date le lunghezze dei lati si usa:

dove a,b,c sono i tre lati del triangolo

L'incontro delle mediane è il BARICENTRO
Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui una doppia dell'altra.
Per il baricentro vale:

la somma dei quadrati dei tre lati è uguale al triplo della somma dei quadrati delle distanze del baricentro dai tre vertici.
Conseguenza della più generale

PROPRIETA' : dato un punto interno P al triangolo ABC vale

QUANTI PERCORSI?

PERMUTAZIONI SENZA PUNTI FISSI

SPERANZA MATEMATICA

Il valore atteso (o speranza matematica) di una variabile casuale discreta, se la distribuzione è finita, è un numero reale dato dalla somma dei prodotti di ogni valore della variabile casuale per la rispettiva probabilità, cioè:

 ESEMPIO1: 
X lancio di un dado 
x valore della variabile= valore del dado
Qual è il valore atteso nel lancio del dado?
E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=1/6(1+2..+6)=
1/6* 7*6/2=21/6=7/2=3,5
I valori del dado si accumolano intorno a 3,5

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TEOREMA DI EULERO

TEOREMA di EULERO : Se a è coprimo con n allora a elevato a Φ(n) è congruo a 1 modulo n

ESEMPIO: 
 
n=10 =2²x5² e
Φ(10)=4
infatti sono coprimi con 10  : 1 3 7 9 
 allora 3 ^ 4=1 mod10 e infatti è 81=1 mod10
E anche 7^4=1 mod10
oppure 9^4=1 mod 10

LA FUNZIONE PHI DI EULERO

La funzione di Eulero di un numero naturale n si indica con Φ(n) ed è uguale ai numeri primi con n minori di n compreso 1. 

Ad esempio n=10 i numeri minori di n sono 1 2 3 4 5 6 7 8 9 di questi sono primi con 10 il 3 7 9 insieme a 1. Allora Φ(10)=4

Φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pm)

dove p1,p2,....pm sono fattori primi di n  .


Esempio: 
n=10 = 2x5
Φ(10)=10(1-1/2)(1-1/5)=10x1/2 x4/5=4
n=100
Φ(100)=100(1-1/2)(1-1/5)=40

PROPRIETA':
1. φ(p) = p - 1 se p è primo;
2.

infatti i numeri non primi con

sono quelli con fattori in comuni, ma essendo p primo sono tutti i multipli di p minori 

Quindi quelli primi sono tutti meno quelli non primi.

3. φ è una "funzione moltiplicativa", vale a dire φ(m*n)=φ(m)*φ(n) quando i fattori m e n son primi fra di loro, cioè MCD(m, n)=1;