GEOMETRIA PER LE GARE

Lezione di geometria: basi per le gare

Sabato 13 gennaio 2024

1. Criteri di congruenza dei triangoli

• Lato–Angolo–Lato (LAL): due lati congruenti e l’angolo compreso congruente.
• Lato–Angolo–Angolo (LAA): un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti.
• Tre lati (LLL): i tre lati congruenti.

2. Criteri di similitudine dei triangoli

• AAA: tre angoli congruenti (in realtà ne bastano due).
• Lati in proporzione e angolo compreso: due lati in proporzione e l’angolo compreso congruente.
• Tre lati in proporzione: i tre lati in proporzione.

3. Triangolo rettangolo – Teoremi di Euclide

Sia ABC un triangolo rettangolo in A, con altezza CH sull’ipotenusa AB.

• Altezza relativa all’ipotenusa: CH² = AH · HB
• Primo teorema di Euclide: AC² = AH · AB
• Secondo teorema di Euclide: BC² = BH · AB

4. Parallele e trasversali

Condizione di parallelismo tra due rette tagliate da una trasversale:

• Angoli corrispondenti congruenti ⇒ le rette sono parallele.
• Angoli alterni interni congruenti ⇒ le rette sono parallele.
• Viceversa: se si forma almeno una coppia di angoli alterni interni congruenti, le rette sono parallele.

5. Teorema della bisettrice interna

In un triangolo ABC, la bisettrice dell’angolo in A incontra il lato opposto in D.

Tesi: AD / DB = AC / CB

6. Angolo al centro e angolo alla circonferenza

• Definizione:
  – Angolo al centro: vertice nel centro della circonferenza, insiste su un arco.
  – Angolo alla circonferenza: vertice sulla circonferenza, insiste sulla stessa corda/arco.
• Proprietà 1: l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
• Proprietà 2: gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti.
• Proprietà 3: gli angoli alla circonferenza che insistono su archi opposti sono supplementari.
• Triangolo in semicirconferenza: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

7. Teorema di Talete

Se due rette parallele sono tagliate da due trasversali, i segmenti corrispondenti sono proporzionali.

Esempio: se AV e BV sono segmenti su una trasversale e A'V, B'V su un’altra, con le rette parallele:

AV / BV = A'V / B'V

8. Quadrilateri ciclici

Un quadrilatero è ciclico se i suoi vertici giacciono su una stessa circonferenza.

• Primo criterio: una coppia di angoli opposti è supplementare ⇒ il quadrilatero è ciclico.
• Caso particolare: se gli angoli opposti sono entrambi di 90°, il quadrilatero è ciclico.
• Secondo criterio: un lato è “visto” da due angoli congruenti (alla circonferenza) ⇒ il quadrilatero è ciclico.

9. Teorema di Tolomeo

Per un quadrilatero ciclico ABCD vale:

Teorema: AB · CD + AD · BC = AC · BD

Corollario (triangolo equilatero ABC con punto P sulla circonferenza circoscritta):

AP + PB = PC

10. Punti notevoli di un triangolo

Baricentro

• È il punto di incontro delle mediane.
• Divide ogni mediana in due parti, di cui una è il doppio dell’altra:
  se G è il baricentro sulla mediana da C, allora CG = 2 · GM.

Ortòcentro

• È il punto di incontro delle altezze.
• In un triangolo ottusangolo l’ortòcentro cade fuori dal triangolo.

Incentro

• È il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni.
• È equidistante dai lati del triangolo (centro della circonferenza inscritta).

11. Disuguaglianze triangolari

• La somma di due lati è sempre maggiore del terzo:
  AC + BC > AB
  AC + AB > BC
  AB + BC > AC
• Ogni lato è maggiore della differenza degli altri due:
  AB > |AC − BC|
  BC > |AC − AB|
  AC > |AB − BC|

12. Teorema delle secanti

Sia P un punto esterno a una circonferenza, e siano PA e PB, PC e PD due secanti che intersecano la circonferenza.

Teorema: PA · PB = PC · PD

13. Teorema delle corde

In un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di centro O:

AO · OC = DO · OB

Se vale questa relazione, il quadrilatero ABCD è ciclico (vale anche il viceversa).

14. Teorema delle tangenti

Sia P un punto esterno a una circonferenza, e siano PA e PB due tangenti alla circonferenza nei punti A e B.

• Le tangenti da uno stesso punto hanno uguale lunghezza:
  PA = PB
• In molti problemi si usa anche la relazione con secanti:
  PT² = PA · PB (quando T è punto di tangenza e PA, PB sono secanti/tangenti opportunamente definite).

15. Osservazioni ed esercizi tipici

• Triangolo inscritto in semicirconferenza: se AB è diametro, ogni triangolo con vertice C sulla semicirconferenza ha angolo in C retto.
• Mediana in triangolo rettangolo: la mediana condotta dal vertice dell’angolo retto all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa.
• Punto medio dell’ipotenusa: in un triangolo rettangolo, il punto medio dell’ipotenusa è il centro della circonferenza circoscritta.

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EQUAZIONI DIOFANTEE

Sono equazioni a coefficienti intere e delle quali si cercano soluzioni intere.
Consideriamo quelle lineari in x e y del tipo ax+by=c.
Posto d=MCD(a, b) queste equazioni hanno soluzioni solo se d divide c.
Se l'equazione ha soluzioni allora ne ha necessariamente infinite e sono date dalla somma di una soluzione particolare  (x', y') e di una generica dell'equazione omogenea ax+by=0.
Ad esempio 3x+4y=5 ha come soluzione particolare (3,-1). La soluzione dell'equazione dell'omogenea 3x+4y=0 è (4t,-3t). Quindi la soluzione è (4t+3,-3t-1).

Graficamente le soluzioni dell'equazione Diofantea sono i punti a coordinate intere che appartengono alla retta. Ad esempio le soluzioni dell'equazione 2x+3y=5 sono del tipo (1,1) soluzione particolare + (3t, -2t) soluzione omogenea. Quindi sono soluzioni tutte le coppie (1+3t,1-2t) al variare di t nei numeri interi. Ad esempio per t=1 ottengo C(4,-1) (vedi figura)

video lezione

QUADRILATERI CICLICI

Un quadrilatero si dice ciclico se si può iscrivere in una circonferenza. 

 

1)Un quadrilatero è ciclico SE E SOLO SE gli angoli opposti sono supplementari.

DIM: è conseguenza del fatto che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro.

 

2) Un quadrilatero è ciclico SE E SOLO SE sono uguali gli angoli che "insistono sullo stesso lato"

Un quadrilatero è ciclico SE E SOLO SE vale il teorema di TOLOMEO

TEOREMA DI TOLOMEO: ABXDC+ADXBC=ACXBD

Un quadrilatero è ciclico se e solo se (vale T. corde)

 AOxOC=BOxOD

 

 

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1° INCONTRO

CALCOLO DELLA FUNZIONE DI EULERO ON LINE

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Crivello di Eratostene

e' un procedimento per trovare tutti i numeri primi minori di n ed è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da 2  fino n . Poi si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di 2  e si ripete l'operazione con i numeri che seguono, proseguendo fino a che non si applica l'operazione all'ultimo numero non cancellato. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a n .

DISUGUAGLIANZE CLASSICHE

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT

Il piccolo teorema di Fermat afferma che se a è coprimo a p :

a^p-1=1 mod p

può servire per dimostrare che un numero NON è primo. In pratica dice che il periodo delle potenze con base a  mod p è un divisore di  p-1 e poi si ripetono. Ad esempio le potenze di 5,6,7… mod 11 si ripetono ogni 10 potenze. Così 5⁰=1, 5¹=5, 5²=3, 5³=4, 5⁴=9, 5⁵=1

E’ sicuramente molto utile quando si devono calcolare potenze modulo p primo.

Ad esempio: calcolare il resto di 4⁴⁰ diviso per 19.

4 è coprimo a 19 quindi 4¹⁸=1 . Scrivo 4⁴⁰= (4¹⁸)²4⁴=4⁴=(16)²=(-3)²=9

POTENZE CICLICHE MODULO n: cifra delle unità o ultime cifre

Le potenze modulo n sono clicliche con periodo d
ESEMPIO: in modulo 10 ( cifra delle unità)
potenze di 2
2^0=1
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=6
2^5=2
2^6=4
SI RIPETONO OGNI 4 termini
quindi possiamo calcolare la cifra delle unità di qualunque potenza di 2
2^134= ?  134=2 mod 4 allora 2^134=2^2=4
L' unità della potenza è 4

ALTRE POTENZE MOD 10

le cifre che si ripetono sono :

e i periodi sono :

Per ottenere le ultime due cifre di una potenza bisogna scriverlo mod 100

Risolutore di equazioni ON LINE

RISOLVI EQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI ON LINE

ALGORITMO DI EUCLIDE: CALCOLO MCD

CRITERI DI DIVISIBILITA'

Per dimostrare i criteri di divisibilità si unano le congruenze mod n .

DIVISIBILITA' PER 3
la somma delle cifre è 0 oppure è multiplo di 3
Infatti:
10=1 mod 3
100=10x10=1x1=1 mod3
1000= 1 mod 3 per lo stesso motivo
:

[10]n=[1] mod 3  per ogni n

un numero ABC = 100A+10B+C=A+B+C mod 3

Esempio : 1455=1000+4x100+5x10+5= 1+4+5+5=15 ok è multiplo di 3


DIVISIBILITA' PER 4

un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle sue due ultime cifre
ad esempio 5734 è div per 4 se lo è 34 Allora non è div.

consideriamo le potenze di 10 mod 2
10=2

[100]=[1]

[10]=[2]

[10²]=[0]

[10³]=[8]=[0] e poi è sempre 0   

Quindi 1234 : 4 ha resto 2 ossia [1234]=[34]=[2] mod 4

DIVISIBILITA' PER 7

Un intero n è divisibile per 7, cioè n mod 7 = 0, se e solo se lo è il numero ottenuto

dall’intero iniziale senza la cifra delle unità sottraendo due volte la cifra delle unità.

Per esempio, 3367882 mod 7 = 0 in

quanto 336788 − 2 · 2 = 336784, e ripetendo

33678−2 · 4 = 33670, 3367−2 · 0 = 3367, 336−2 · 7 = 322, 32−2 · 2 = 28; ma dato che l’ultimo è divisibile per 7, lo sono anche tutti gli altri e in particolare il numero di partenza

DIVISIBILITA' PER 8 e in generale per 2^n POTENZE DI 2

un numero è divisibile per 8=2^3 se lo è il numero formato dalle sue ultime TRE cifre
un numero è divisibile per 8=2^n se lo è il numero formato dalle sue ultime n cifre 

Esempio:

[123156]=[156]  mod 8= mod 2³

[123 564]=[64] mod 4

[123 675]=[3675] mod 16

DIVISIBILITA' PER 9

un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle cifre è divisibile per 9

Infatti:

[10]n=[1] mod 9  per ogni n

1234 è divisibile per 9?

solo se lo è LA SOMMA DELLE SUE CIFRE 1+2+3+4 perché:

[1234]=[1x10³+2x10²+3x10+4]=

=[1][10]³+[2][10]²+[3][10]+[4]=[1+2+3+4]=[1]

Quindi in particolare 1234:9 ha resto 1
DIVISIBILITA' PER 11

un numero è divisibile per 11 se e solamente se la somma delle sue cifre a segni alterni è divisibile per 11. 

Infatti:

100 = 1 è congruo a 1 modulo 11. La potenza

101 = 10 è invece congrua a −1 modulo 11. Ne segue che

102 = 10 · 10  (−1) · (−1) = 1 (mod 11),

e quindi

103 = 10 · 102  (−1) · 1 = −1 (mod 11).

Allora :

ESEMPIO

6131829 = 9·100+2·101+8·102+1·103+3·104+1·105+6·106  =9−2+8−1+3−1+6 = 22  = 0 (mod 11).

ARITMETICA MODULARE

Consideriamo i numeri interi Z. Si dice che due numeri interi a,b sono congrui modulo n e si scrive
a=b mod n
se a-b è un multiplo di n

Ad esempio : 4=1 mod 3 e ande 7=1 mod 3
se a=b mod n allora a e b hanno lo stesso resto se vengono divisi per n
Ad esempio i numeri che sono uguali modulo 3 sono 1 - 4 - 7 - 10
Si pone [1] mod3 per indicare l'insieme di tutti i numeri congrui a 1 mod3

In generale [a] mod n indica l'insieme di tutti i numeri interi che divisi per n hanno resto a e si dice CLASSE di a modulo n.

Fissato n le sue classi sono n : [0], [1], [2]....[n-1]
La congruenza è una relazione di equivalenza e l'unione delle classi (che sono disgiunte) è tutto l'insieme Z degli interi.

Nell'insieme delle classi mod n si può definire l'operazione di somma e prodotto. Risulta:
[a]+[b]=[a+b]
[a][b]=[ab] 

APPLICAZIONI:
Se siamo nell'aritmetica modulo 7
[10]=[3]
[100]=[10][10] =[9]=[2]
[1000]=[10][100]=[3][2]=[6]
Quanto vale il resto di 1546 per 7? E' divisibile per 7?
allora [1546]=[1000]+5[100]+4[10]+6=[6]+5[2]+4[3]+6=[6]+[3]+[5]+[6]=[20]=[6]
è 6
quindi 1540 è divisibile per 7!

L'aritmetica dell'orologio è modulo 12 se consideriamo la lancetta delle ore.
[1]=[13] mod 12
 Se sono le 14 e passano 13 ore allora la lancetta segnerà le 3: [14]+[13]=[27]=[3]  

 

 

RETTA DI EULERO

TEOREMA:L’ortocentro (H), il baricentro (G) e il circocentro (O) di un triangolo qualsiasi sono sempre allineati.
 
Si dice retta di Eulero di un triangolo la retta che unisce il circocentro O, il baricentro G e l’ortocentro H del triangolo 

PROPRIETA': Il baricentro G divide il segmento OH in due parti una doppia dell'altra:  HG=2OG 

TEOREMA DI CEVA

SPIEGAZIONE: Quindi la dimostrazione si basa sul fatto che due triangoli che hanno la stessa altezza hanno le aree proporzionali alle basi. Quindi le lunghezze presenti nei rapporti sono le basi di triangoli con la stessa altezza e queste aree si semplificano in croce.

TEOREMA DI TOLOMEO

TUTTO SULLE MEDIANE e BARICENTRO

 

Da questa si possono ricavare le lunghezze delle mediane date le lunghezze dei lati si usa:

dove a,b,c sono i tre lati del triangolo

L'incontro delle mediane è il BARICENTRO
Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui una doppia dell'altra.
Per il baricentro vale:

la somma dei quadrati dei tre lati è uguale al triplo della somma dei quadrati delle distanze del baricentro dai tre vertici.
Conseguenza della più generale

PROPRIETA' : dato un punto interno P al triangolo ABC vale