TEOREMA DI EULERO

TEOREMA di EULERO : Se a è coprimo con n allora a elevato a Φ(n) è congruo a 1 modulo n

ESEMPIO: 
 
n=10 =2²x5² e
Φ(10)=4
infatti sono coprimi con 10  : 1 3 7 9 
 allora 3 ^ 4=1 mod10 e infatti è 81=1 mod10
E anche 7^4=1 mod10
oppure 9^4=1 mod 10

LA FUNZIONE PHI DI EULERO

La funzione di Eulero di un numero naturale n si indica con Φ(n) ed è uguale ai numeri primi con n minori di n compreso 1. 

Ad esempio n=10 i numeri minori di n sono 1 2 3 4 5 6 7 8 9 di questi sono primi con 10 il 3 7 9 insieme a 1. Allora Φ(10)=4

Φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pm)

dove p1,p2,....pm sono fattori primi di n  .


Esempio: 
n=10 = 2x5
Φ(10)=10(1-1/2)(1-1/5)=10x1/2 x4/5=4
n=100
Φ(100)=100(1-1/2)(1-1/5)=40

PROPRIETA':
1. φ(p) = p - 1 se p è primo;
2.

infatti i numeri non primi con

sono quelli con fattori in comuni, ma essendo p primo sono tutti i multipli di p minori 

Quindi quelli primi sono tutti meno quelli non primi.

3. φ è una "funzione moltiplicativa", vale a dire φ(m*n)=φ(m)*φ(n) quando i fattori m e n son primi fra di loro, cioè MCD(m, n)=1;

 

NUMERI PRIMI GEMELLI

Si definiscono numeri primi gemelli due numeri primi che differiscono tra loro di due .

Fatta eccezione per la coppia (2, 3), i numeri primi non si toccano mai perché hanno sempre un numero pari che li separa. 

 

Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono (5, 7), (11,13), e (821, 823).

I numeri primi gemelli sono molto rari . Questo è servito da metafora per dare il titolo al libro di Paolo Giordano : LA SOLITUDINE DEI NUMERI PRIMI

LE PERMUTAZIONI SEMPLICI

Le permutazioni sono i modi di ordinare n elementi distinti.
Siano A, B e C tre elementi distinti. Quali sono i modi di ordinarli?
Ho tre scelte per il 1° elemento
Ho due scelte per il secondo
Ho una scelta per il terzo
In totale sono 3x2x1=6
Si possono rappresentare con una struttura ad albero:

         B    C
A
         C    B

        A    C
B
        C    A

        A    B
C
        B    A

Sono:  ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

In generale i modi di orninare n elementi distinti sono Pn=nx(n-1)x......x3x2x1
si pone n!=nx(n-1)x......x3x2x1 e si chiama  fattoriale di n.

Esempio: Quanti sono gli anagrammi di PAROLE anche privi di significato?
6!=6x5x4x3x2x1= 720

Alcuni esempi:



TERNA PITAGORICA

Una terna pitagorica è una soluzione (x,y,z) dell'equazione x²+y²=z² con x,y,z numeri naturali. Si può pensare ad un triangolo rettangolo di cateti x e y e ipotenusa z con tutti i lati dati da numeri interi positivi.
Una semplice terna pitagorica è (3,4,5)
Come si possono ricavare altre terne pitagoriche?

Si pone:           x=2mn       y=m²-n²       z=m²+n²    

con m,n naturali e     m>n     con m PARI e n DISPARI

ESEMPIO :  m=3  n=2  --> x=12   y=5  z=13 ed è prorio una terna pitagorica. Infatti  12²+5²=13²   144+25=169

se (a,b,c) è una terna pitagorica lo è sicuramente anche (ka,kb,kc)

 

RIEMANN : NUMERI PRIMI E GEOMETRIA SFERICA

Bernhard Riemann(1826–1866) 

 

La successione dei numeri primi rappresenta fin dall'antica Grecia uno dei misteri più affascinanti della scienza: c'è un ordine prevedibile nella serie dei numeri primi, una regola per stabilire ad esempio quale sarà il centesimo numero primo? Nel 1859, il matematico tedesco Bernhard Riemann presentò una sua ipotesi, che sembrava rivelare una magica armonia tra i primi e gli altri numeri. Secondo tale congettura, i numeri primi sono legati agli zeri non banali della funzione zeta .

Da allora, l'Ipotesi di Riemann ossessiona i matematici, e oggi chi riuscisse a dimostrarla vincerebbe un premio da un milione di dollari. Fa  anche parte di uno dei 23 problemi del millennio proposti dal matematico Hilbert alla conferenza di Parigi del 1900

Riemann è famoso nel mondo matematico anche  per aver ideato le geometrie  non-euclidee . Lobacevskji nel 1829 e Bolyai nel 1832 avevano scritto dei saggi in cui dimostravano la possibilità di geometrie differenti da quella di Euclide, in particolare geometrie nelle quali non vale il V postulato e quindi per un punto esterno a una retta passa più di una parallela alla retta data. Le ricerche di questi matematici erano rimaste nell'ombra fino a che con la morte di Gauss (1855) e la pubblicazione del suo epistolario si venne a sapere che anche "il principe dei matematici" si era interessato all'argomento ed aveva avuto la stessa idea. L'interesse per questo problema fece emergere una memoria che Riemann allievo di Gauss, aveva scritto nel 1854 ed era rimasta inedita: Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria. La memoria forniva un nuovo modo di intendere la geometria. Da un lato presentava la geometria come un caso particolare di un nuovo concetto matematico, la varietà pluridimensionale; dall'altro presentava un secondo caso di geometria non euclidea, la geometria ellittica, nella quale non esistono rette parallele. La nuova geometria venne poi utilizzata da Einstein nella teoria della relatività come geometria dello spazio – tempo. Georg Friedrich Bernhard Riemann nacque il 17 settembre 1826 a Breselenz, in Germania. Figlio di un  pastore luterano, non visse certo nell'oro, soprattutto considerando che in totale i genitori di Georg ebbero 6 figli, 4 femmine e 2 maschi. D'altra parte lo stesso Riemann, timido, tranquillo e schivo, ebbe una salute non proprio di ferro. Negli ultimi anni di vita decise di trasferirsi in Italia, paese dal clima più mite, dove morì nel luglio del 1866 a Selesca sulle rive del Lago Maggiore.

 

LIBRI SULLA MATEMATICA
consigliati

1) L'ultimo Teorema di Fermat **** (presente in biblioteca liceo)

 Il libro è di facìle lettura e la storia che racconta è molto coinvolgente. Tutto incomincia quando Pierre de Fermat, nel 1637, partendo dalla seguente equazione:   xⁿ + yⁿ = zⁿ
dove x , y , z ed n devono appartenere tutti all’insieme dei numeri interi, enunciò quello che sarebbe stato conosciuto come il suo ultimo teorema.
Fermat affermò che l’equazione  ammette soluzioni, nell’ambito dei numeri interi, soltanto per n uguale a 2 che poi non è altro che il teorema di Pitagora. Quindi per un qualsiasi n maggiore di 2   non è soddisfatta.
Tuttavia Fermat non diede nessuna dimostrazione dell’enunciato in quanto scrisse di non avere sufficiente
spazio ai margini del libro su cui scrisse il teorema.
Negli anni e quindi nei secoli successivi parecchi matematici tentarono di dimostrare il teorema  con parziali risultati finchè nel 1994 A. Wiles riuscì nell’impresa ricorrendo a sofisticati concetti matematici che sicuramente Fermat non disponeva e dedicandoci tutta la sua vita. Ottenne un premio in denaro e gloria nel mondo matematico.

 Il video racconta la storia del Teorema di Fermat

Isaac Newton e Leibniz sono considerati gli inventori del calcolo infinitesimale.Il lavoro è stato realizzato intorno al 1670. Newton non aveva l'abitudine di pubblicare i suoi lavori ma quando venne a sapere del lavoro di Leibniz lo accuso subito di plagio.
Seguì un lungo processo dal quale uscì vincitore Newton per il semplice fatto che venne celebrato a Londra. Questo determinò una scissione tra i matematici inglesi e quelli europei. I matematici inglesi rimasero isolati fino al 1900 quando il matematico inglese Hardy riprese la collaborazione.
Gli storici hanno poi dimostrato che Leibniz  realizzò il suo lavoro prima o contemporaneamente a Newton e alla completa insaputa del suo lavoro.

QUESITO 1:

Dimostra che un intero N ha un numero dispari di divisori se e solo se si tratta di un quadrato perfetto.

FILM SULLA MATEMATICA : i migliori

1) Will Hunting - Genio ribelle  * * * * * voto:8

 

2) 21 U.S.A.Anno 2008 Regia Robert Luketic * * * * * voto 7

 

3) A Beautiful Mind (di Ron Howard 129’, USA,2001) * * * * * voto 8

 

4)Proof – La prova (di John Madden 100’, USA, 2005)  * * * * * voto 8

5)The Imitation game (2014) ************* voto 8

 Storia del matematico inglese Alan Turing. Vedi TRAILER

 

6)L'uomo che vide l'infinito (2016) 

 

Storia di un grande matematico indiano: Srinivasa Ramanujan autodidatta e di origini molto umili.

LINKS PREFERITI DI SITI DI MATEMATICA 

http://www.matematicamente.it/    

 http://digilander.libero.it/basecinque/index.htm
sito con articoli di matematica divertente e curiosa, giochi matematici

gare di matematica e didattica  

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utilissimo allenamento di matematica su tutti gli argomenti in forma di test

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sito di matematica con quesiti tipo giochi  in forma di test (Math And Logic Problems)

DAVID HILBERT e LA GEOMETRIA NON EUCLIDEA

David Hilbert nasce a Koenigsberg, Prussia (ora Kaliningrad, Russia) nel 1862 e muore a Goettingen, Germania, nel 1943. Hilbert si pose il problema della coerenza della geometria euclidea e, in particolare, del V assioma dell'esistenza della retta parallela ad una data retta e passante per un punto dato . Cosa succede se si suppone che non esista nessuna retta parallela  o  che ne esistano più di una?
Con un tale diverso assioma si ottiene una diversa geometria  coerente come la geometria euclidea.
Nascono così nuove geometrie dette non euclidee che rappresentano lo spazio curvo e che saranno poi utilizzate nella teoria della relatività di Einstein .

David Hilbert

Geometria euclidea e geometrie non euclidee

LE VERITA' DELLA MATEMATICA: GODEL

Siamo intorno al 1900. Il problema è quello di costruire i fondamenti della matematica. La matematica è completa? E' possibile dimostrare tutte le veritàall'interno delle regole formali logiche della stessa disciplina?
Nasce la scuola logicista e molti paradossi. Se io dico che sono un bugiardo sto dicendo la verità o sto mentendo? Russel cerca di affrontare e risolvere questi paradossi fondando la matematica su basi logiche.
Nel congresso del 1900 a Parigi, Hilbert dichiara la completezza della matematica e propone gli ultimi 23 problemi da risolvere. Ma Godel, matematico di origine tedesca, scopre che la matematica non è completa ossia esistono teoremi che possono essere veri ma non dimostrabili all'interno delle regole della stessa matematica. Questo è un duro colpo per tutti i matematici.

TEOREMI DI GEOMETRIA: MEDIANE

Le mediane si incontrano in un punto detto baricentro . Il baricentro divide la mediane in due parti una doppia dell'altra. La dimostrazione sfrutta i triangoli simili ossia il teorema di Talete.
La somma delle mediane è sempre minore del perimetro. Lo sapevi?

GIOCHI MATEMATICI

clicca sul seguente link e troverai una ricca raccolta di giochi on line di carattere matematico come scacchi, forza quattro, le torri di Hanoi e molti altri. Per le torri di Hannoi il minimo numero di mosse è 2^n-1 dove n è il numero dei dischi. Molti di questi giochi hanno una loro strategia. Buon divertimento. 

http://www.mathsisfun.com/games/games-1.html

STRANE SERIE STUDIATE DA EULERO

Le serie sono somme infinite di termini numerici. Questa somma può dare anche un risultato finito e, in questo caso si dice che la serie converge. Se invece la somma è infinita si dice che la serie diverge. Un esempio di serie è quella geometrica: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+......è la somma di tutte le potenze in base 1/2. La serie converge a 2. Poi c'è la serie armonica studiata da Eulero: 1+1/2+1/3+1/4+........ detta così perchè uno strumento produce le armonica principale con tutte le infinite armoniche date dalle frazioni. Questa serie diverge. Ma se consideriamo la serie : 1+1/4+1/9+1/16+1/25....... ossia la somma dei quadrati delle frazioni, si ottiene una serie convergente . La cosa sorprendente è che converge a 1/6 di pigreco elevato al quadrato. pi greco non è solo legato alla circonferenza ma anche a queste strane serie. Miracolo!!!???

Eulero

NUMERI PRIMI

I numeri primi sono infini. L'ha dimostrato Euclide . 
Lo sai quanti sono i numeri primi minori di N?
Sono N/lnN per una nota formula di Gauss. 
E' solo una stima un po' approssimata.

Ad esempio, i numeri primi minori di 100 sono 25. 100/ln(100)=21,7
La cosa curiosa è come ci sia un legame tra numeri primi e logaritmo. Attenzione!! La formula non ci dice dove sono e quali sono i numeri primi.
Tuttora non esiste nessuna formula che dica questo.

NUMERI MAGICI

pensa ad un numero di tre cifre. Pensato? OK! ora inverti l'ordine delle sue cifre e fai la differenza tra il numero ottenuto e quello pensato facendo il più grande meno il più piccolo. Fatto? OK! Hai ottenuto un risultato x . Ora considera il numero ottenuto invertendo le cifre del numero x  somma questo con x.

Scommetto che troverai 1089!!!!!!

I POLIEDRI REGOLARI O SOLIDI PLATONICI

 

Un poliedro regolare è un solido con facce che sono poligoni regolari. Matematicamente esistono solo 5 poliedri regolari: TETRAEDRO (4 triangoli equilateri), OTTAEDRO (8 triangoli equilateri), ESAEDRO o cubo (6 quadrati), DODECAEDRO (12 pentagoni) e ICOSAEDRO (20 triangoli equilateri) . La formula di Erone mette in relazione facce, vertici e spigoli:   

F-S+V=2.

Ad esempio il cubo ha 6 facce, 12 spigoli e 8 vertici : 6-12+8=2